Ensembles finis Exemples

$- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} > 6$

Étape 1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} - 6 > 0$

Étape 2

Simplifiez $- \frac{4 (2 x - 2)}{3 x} - 6$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- \frac{4 (2 (x) - 2)}{3 x} - 6 > 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{4 (2 (x) + 2 (- 1))}{3 x} - 6 > 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{4 (2 (x - 1))}{3 x} - 6 > 0$

$- \frac{4 \cdot 2 (x - 1)}{3 x} - 6 > 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} - 6 > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} - 6 \cdot \frac{3 x}{3 x} > 0$

Étape 2.3

Associez $- 6$ et $\frac{3 x}{3 x}$ .

$- \frac{8 (x - 1)}{3 x} + \frac{- 6 (3 x)}{3 x} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 (x - 1) - 6 (3 x)}{3 x} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 (x - 1) - 6 \cdot 3 x$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 4 (x - 1)) - 6 \cdot 3 x}{3 x} > 0$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \cdot 3 x$ .

$\frac{2 (- 4 (x - 1)) + 2 (- 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 4 (x - 1)) + 2 (- 3 \cdot 3 x)$ .

$\frac{2 (- 4 (x - 1) - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 4 x - 4 \cdot - 1 - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 (- 4 x + 4 - 3 \cdot 3 x)}{3 x} > 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{2 (- 4 x + 4 - 9 x)}{3 x} > 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $9 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 13 x + 4)}{3 x} > 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 13 x$ .

$\frac{2 (- (13 x) + 4)}{3 x} > 0$

Étape 2.7

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (13 x) - 1 (- 4))}{3 x} > 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (13 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (13 x - 4))}{3 x} > 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (13 x - 4)$ comme $- 1 (13 x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (13 x - 4))}{3 x} > 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (13 x - 4)}{3 x} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x = 0$

$13 x - 4 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$13 x = 4$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $13 x = 4$ par $13$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $13 x = 4$ par $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{4}{13}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 x}{13} = \frac{4}{13}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{13}$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{4}{13}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{4}{13}$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{2 (13 x - 4)}{3 x}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (13 x - 4)}{3 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x = 0$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{4}{13}$

$x > \frac{4}{13}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{4 (2 (- 2) - 2)}{3 (- 2)} > 6$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 4$ n’est pas supérieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{4}{13}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{4}{13}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.15$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0.15$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{4 (2 (0.15) - 2)}{3 (0.15)} > 6$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $15.\overline{1}$ est supérieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{13}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{13}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{4 (2 (3) - 2)}{3 (3)} > 6$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 1.\overline{7}$ n’est pas supérieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{4}{13}$ Vrai

$x > \frac{4}{13}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{4}{13}$ Vrai

$x > \frac{4}{13}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{4}{13}$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(0, \frac{4}{13})$

Étape 14